"osakatet" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

T˜oestus. 10 =⇒ 20 . See j¨areldub teoreemist 7.1. 20 =⇒ 10 . Eeldame, et on t¨aidetud tingimus 20 . N¨aitame, et ruum X on kompaktne. Lemma 7.1 t˜ottu piisab n¨aidata, 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides 75 et ruumi X igast loenduvast lahtisest kattest saab eraldada l˜opliku osakatte. Olgu A = { Ai | i ∈ N } ruumi X lahtine kate. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et ruumi X kattest A ei saa eraldada l˜oplikku osakatet. Siis iga n ∈ N korral X = ∪ni=1 Ai ja Fn = X (∪ni=1 Ai ) = ∩ni=1 (X Ai ) = ∅, kusjuures F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . . (7.8) Hulgad X Ai on kinnised kui lahtiste hulkade t¨aiendid. See- p¨arast on ka hulgad Fn kinnised. N¨aitame, et ∩∞ i=1 Fn = ∅. (7.9) Jada F = {Fn }n∈N puhul on kaks v˜oimalust: 1) leidub