Topoloogilised ruumid
Teoreem 7.27 Kui topoloogiline ruum X on kompaktne, siis
a) tema iga l˜opmatu alamhulk omab piirpunkti;
b) tema iga kinnine alamhulk on samuti kompaktne.
T˜oestus. Olgu A ruumi X l˜opmatu alamhulk. Vastuv¨aite-
liselt eeldame, et A ei oma piirpunkti. Siis iga punkti x ∈
X jaoks leidub tema selline lahtine u ¨mbrus U (x), et selles
¨mbruses on ainult l˜oplik arv hulga A punkte. Siis A =
u
{U (x)}x∈X on ruumi X lahtine kate. Ruumi X kompaktsuse
t˜ottu leidub kattel A l˜oplik osakate, st
X = U (x1 ) ∪ · · · ∪ U (xn ) (7.1)
mingite x1 , . . . , xn ∈ X ja n ∈ N korral. Kuna A ⊂ X ja
iga liidetav avaldises (7.1) sisaldab l˜oplik arv hulga A punkte,
siis peab A olema l˜oplik. See on vastuolus eeldusega, et A on
l˜opmatu. J¨arelikult peab A omama piirpunkti.
Teoreemi teise v¨aite t˜oestamiseks eeldame, et A ⊂ X ja
A on kinnine. N¨aitame, et A on kompaktne. Olgu A =
{Ai }i∈I hulga A lahtine kate
annaabi.ee 
