"ortogonaalteisendus" - 1 õppematerjal

Lineaaralgebra eksam

Ortogonaalmaatriksi defnitsioon. Tarvilik ja piisav tingimus selleks, et ruutmaatriks oleks ortogonaalmaatriks (kõik tõestustega). = (V,P) - eukleidiline ruum; L: V -> V; lineaarne teisendus - lineaarne kujutus, kus V = W ( = ); R = (O; 1; ...; n) - reeper; = (x1; ...; xn) = xT; = L() = (y1; ...; yn) = yT; y = Ax Lineaarteisendust L: V -> V nimetatakse ortogonaalteisenduseks, kui ta säilitab vaadeldavas eukleidilise ruumis skalaarkorrutise, st 1 * 2 = L(1) * L(2) Kui L on ortogonaalteisendus, siis ta säilitab vektorite pikkused, st ||L()|| = || || V (Põhjus: |||| = sqrt(*) = sqrt(L()*L()) = ||L()||) Ortogonaalteisendus L säilitab vektorite vahelised nurgad st 1^2 = L(1)^L(2) (Põhjus: cos(1^2) = 12 / (||1|| * ||2|| = cos(L(1)^L(2)) L -> A (teisenduse L maatriks); ^xT = 1 -> koordinaatide maatriks ^x; ¯xT = 2 - koordinaatide maatriks ¯x; ^yT = 1 = L(1); ¯yT = 2 = L(2) 1 * 2 = ||^x1¯x1 + ^x2¯x2 + ... + ^xn¯xn|| = ^xT * ¯x 1 * 2 = ... = ^yT * ¯y