"opmatused" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

alamhulgal A alumine raja inf A, st suurim alumine t˜oke. Teoreem 8.39 L˜oigud [a; b], pooll˜ oigud [a; b[, ]a; b] ja vahemi- kud ]a; b[ (lubatud on ka l˜opmatud pooll˜ oigud ja vahemikud) on sidusad hulgad ruumis R. T˜oestus. Olgu A kas l˜oik, pooll˜oik v˜oi vahemik ruumis R. Siis A on esitatav kujul A =< a; b >, kus < ja > t¨ahistavad u ¨hte s¨umbolitest ] ja [ ning a ja b v˜oivad olla ka l˜opmatused. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et A pole sidus. Siis A avaldub kujul A = B ∪ C, B ∩ C = ∅, B = ∅, C = ∅, 8.2 Sidusad hulgad arvteljel 91 ¨ kus B ja C on lahtised hulgad alamruumis A. Uhtlasi on B ja C ka kinnised hulgad alamruumis A, st cl(B) = B ja cl(C) = C (sulundid ruumis A). Valime c ∈ B ja d ∈ C. ¨ Uldsust kitsendamata v˜oib eeldada, et c < d. Moodustame arvuhulga