Topoloogilised ruumid
T˜oestus. 10 Olgu f pidev punktis x ∈ X ja g pidev punktis
y = f (x) ∈ Y . Siis (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = z. Valime
punkti z mis tahes u ¨mbruse W . Kujutuse g pidevuse t˜ottu
punktis y leidub punkti y selline u ¨mbrus V , et g(V ) ⊂ W .
Kujutuse f pidevuse t˜ottu punktis x leidub punkti x selline
¨mbrus U , et f (U ) ⊂ V . Siis (g ◦ f )(U ) = g(f (U )) ⊂ g(V ) ⊂
u
W , st g ◦ f on pidev punktis x.
20 J¨areldub vahetult teoreemi esimese v¨aite t˜oestusest ja
pidevuse definitsioonist.
J¨argnevas teoreemis esitatakse pidevusega samav¨a¨arsed
n˜ouded.
Teoreem 4.17 Kujutuse f : X −→ Y jaoks on j¨
argmised
v¨aited samav¨a¨arsed:
10 f on pidev;
aielik originaal f −1 (B) =
20 ruumi Y iga lahtise alamhulga B t¨
{ x ∈ A | f (x) ∈ B} on lahtine;
0
3 ruumi Y iga kinnise alamhulga t¨aielik originaal on kinnine;
4
annaabi.ee 
