"monotooselt" - 1 õppematerjal

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

Tõestus: Tõestame juhtumi, kus f on monotoonselt kasvav. Î Olgu diferentseeruv funktsioon f monotoonselt kasvav piirkonnas X. Näitame, et f (x ) 0 x X . f ( x + x ) - f ( x ) Kuna f on diferentseeruv, siis f ( x ) = f ( x + ) = lim x 0 + x x 0 + x > 0 x < x + x Kuna f on monotooselt kasvav, siis f ( x ) f ( x + x ) f ( x + x ) - f ( x ) 0 f ( x ) 0 Í Olgu funktsioon f diferentseeruv ning olgu f ( x ) 0 x X . Näitame, et x1 < x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) Olgu x1 , x 2 X x1 < x 2 , s.t. x 2 - x1 > 0 . Lagrange'i keskväärtusteoreemi põhjal f ( x 2 ) - f ( x1 ) = f ( ) (x 2 - x1 ) X f ( x ) 0 x X X f ( ) 0 Järelikult f ( x 2 ) - f ( x1 ) 0 f ( x1 ) f ( x 2 ) Lokaalsed ekstreemumid