"monotoonsusprintsiibist" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

Teoreem 2.18 (Cantori teoreem sisestatud lõikudest). Kui lõigud [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] ⊇ . . . ⊇ [an , bn ] ⊇ . . . rahuldavad tingimust lim (bn − an ) = 0, siis leidub täpselt üks arv a, mis kuulub igasse lõiku n→∞ [an , bn ]. Seejuures a = lim an = lim bn . n→∞ n→∞ Märkus. Ülal tõestasime Bolzano–Weierstrassi teoreemi lähtudes vahetult monotoonsusprintsiibist. Teine võimalus selleks on kasutada Cantori teoreemi üksteisesse sisestatud lõikudest. Olgu (xn ) tõkestatud jada, siis leiduvad reaalarvud a0 , b0 nii, et iga n ∈ N korral a0 6 xn 6 b0 . Iga k = 1, 2, . . . korral tegutseme järgnevalt. Moodustame indeksite hulgad       ak−1 + bk−1 ak−1 + bk−1