"monotoonsusomadusi" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

Tõestus. Iseseisvalt!z Märkus 1. Teoreem 6.7 kehtib ka nõrgemal eeldusel: pidevuse asemel piisab eeldada funktsioonide fk , k ∈ N, integreeruvust. Tõestuseks piisab märkida, et vastavalt antud arvule ε > 0 saab leida funktsionaaljada (fk ) ühtlase koonduvuse tõttu indeksi N , et kui k > N , siis iga x ∈ [a, b] korral ε |fk (x) − f (x)| < a−b . Edasi on jäänud rakendada integraali monotoonsusomadusi. Märkus 2. Kui integreeruvate funktsioonide jada (fk ) koondub ühtlaselt piirfunktsiooniks f , on f ka integreeruv. Selle märkamiseks fikseeritakse ε > 0 ning leitakse N nii, et iga x ∈ [a, b] korral fN (x) − 2ε < f (x) < fN (x) + 2ε . Nüüd osutub, et lõigu [a, b] iga alajaotuse T korral kehtib võrratus Sf (T ) − sf (T ) 6 SfN (T ) − sfN (T ) + ε(b − a), mis garanteerib funktsiooni f integreeruvuse lõigus [a, b]. Teoreem 6