ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
(xnk ): kui nk on tippkohale nk−1 järgnev tippkoht, siis xnk 6 xnk−1 (põhjendada!)z. Juhul
2) konstrueerime kasvava osajada (xni ) järgmiselt. Olgu n1 mingi indeks, mis on suurem
kõikidest tippkohtadest, siis on võimalik leida indeks n2 > n1 nii, et xn2 > xn1 (põhjenda-
da!)z. Edasi leiame sellise n3 > n2 , et xn3 > xn2 jne. Tulemuseks saame kasvava osajada
(xn1 , xn2 , . . .) . Samamoodi toimime ka juhul 3), võttes n1 := 1. Lause on tõestatud.
Lausest 2.13 ja monotoonsuseprintsiibist tuleneb vahetult järgmine teoreem.
Teoreem 2.14 (Bolzano–Weierstrassi teoreem). Iga tõkestatud jada sisaldab koonduva
osajada.
Tõestus. Olgu (xn ) tõkestatud jada, vastavalt lausele 2.13 on tal monotoonne osajada
(xnk ), mis samuti on tõkestatud (vrd. omadus 2.12(a)). Monotoonsuseprintsiibi 2.11 põhjal
osajada (xnk ) koondub.
ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 37
2.2.3 Cauchy kriteerium
annaabi.ee 
