ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
Tulemuseks saame kasvava osajada
(xn1 , xn2 , . . .) . Samamoodi toimime ka juhul 3), võttes n1 := 1. Lause on tõestatud.
Lausest 2.13 ja monotoonsuseprintsiibist tuleneb vahetult järgmine teoreem.
Teoreem 2.14 (Bolzano–Weierstrassi teoreem). Iga tõkestatud jada sisaldab koonduva
osajada.
Tõestus. Olgu (xn ) tõkestatud jada, vastavalt lausele 2.13 on tal monotoonne osajada
(xnk ), mis samuti on tõkestatud (vrd. omadus 2.12(a)). Monotoonsuseprintsiibi 2.11 põhjal
osajada (xnk ) koondub.
ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 37
2.2.3 Cauchy kriteerium
Järgnevalt defineerime Cauchy jada mõiste, mis kirjeldab jada liikmete omavahelist võn-
kumist. Tõestame, et arvjada on koonduv parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. Cauchy
tingimuse põhiline eelis jada piirväärtuse definitsiooni ees on asjaolu, et kui uurime, kas ja-
annaabi.ee 
