ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
Tõestus. Kuna ak < bn suvaliste indeksite k ja n puhul (selgitada!)z, siis {ak | k ∈ N}
on ülalt tõkestatud hulk. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {ak | k ∈ N} =: c. See-
juures c 6 bn iga n korral (selgitada!)z, järelikult c ∈ [an , bn ] suvalise n ∈ N puhul. Seega
∞
T
[an , bn ] 6= ∅.
n=1
Lause 1.29 abil tõestame nüüd reaalarvude hulga R mitteloenduvuse.
Lause 1.30 Ükski vahemik (a0 , b0 ) ⊆ R ei ole loenduv hulk. Seega on ka hulk R mitteloenduv.
Tõestus. Võtame vahemikus (a0 , b0 ) suvalise loenduva alamhulga E = {x1 , x2 , . . .} ja
näitame, et E 6= (a0 , b0 ). Selleks kasutame järgmist lihtsat tähelepanekut (kontrollida!)z:
(∗ ) antud vahemiku (a, b) ja punkti x ∈ R korral saab leida lõigu [c, d] ⊆ (a, b) omadusega
x∈ / [c, d] .
annaabi.ee 
