"mittelahtine" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Siis v˜oib vaadelda ruumi X alamhulki A = { x ∈ X | f (x) = a } = f −1 ({a}), B = { x ∈ X | f (x) > a } = f −1 (]a, +∞[), C = { x ∈ X | f (x) < a } = f −1 (] − ∞, a[). Hulk A on kinnine kui kinnise hulga {a} t¨aielik originaal. Hulgad B ja C on aga lahtised kui lahtiste hulkade ]a, +∞[ ja ] − ∞, a[ t¨aielikud originaalid. Pideva kujutuse f : X −→ Y korral lahtise hulga A ⊂ X kujutis f (A) = { f (x) | x ∈ A } v˜oib olla mittelahtine. aide 4.5 Kujutus f : R −→ R2 , mis on antud reegliga N¨ f (x) = (x; 0), on pidev. Kogu ruum R on lahtine, kuid tema kujutis f (R) = { (x; 0) | x ∈ R } (x−telg) pole lahtine ruumis R2 . 40 4 PIDEVUS Definitsioon 4.3 Pidevat kujutust f : X −→ Y nimeta- takse lahtiseks, kui ta kujutab ruumi X iga lahtise hulga ruumi Y lahtiseks hulgaks. N¨aide 4.6 Kujutus f : R −→ R, kus f (x) = 2x − 1, on lahtine kujutus