"mbrusi" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Ruum X on T0 -ruum, kuid pole T1 -ruum. N¨aide 6.2 Olgu X l˜opmatu hulk ja vaatleme teda topo- loogilise ruumina l˜opliku topoloogiaga Tl (vt. u ¨lesannet 1.2). Kui x, y ∈ X ja x = y, siis x ∈ X {y} ∈ Tl ning X {y} on punkti x u ¨mbrus, mis ei sisalda punkti y. Analoogiliselt X {x} on punkti y u¨mbrus, mis ei sisalda punkti x. J¨arelikult X on T1 -ruum. Samal ajal punktid x ja y ei oma mittel˜oikuvaid u ¨mbrusi. T˜oepoolest, kui punktidel x ja y leiduksid mit- ¨mbrused U ja V , siis topoloogia Tl definitsiooni tel˜oikuvad u kohaselt oleksid hulgad X U ja X V l˜oplikud. Seega peab V olema l˜opmatu, mis on V ⊂ X U t˜ottu v˜oimatu. J¨arelikult X pole T2 -ruum. Teoreem 6.24 Meetriline ruum on Ti -ruum iga i = 0, 1, 2, 3, 4 korral. T˜oestus. Olgu X meetriline ruum meetrikaga d. Teoreemi 2.5 t˜oestuses n¨aitasime, et kui x, y ∈ X ja x = y, siis punktidel