Loogika aine ja ajalugu
liitmise ja korrutamise abil defineerida ka teised tuntud aritmeetikatehted.
Olgu meil hulk aritmeetika aluseid kirjeldavaid baasväiteid G. Kas iga aritmeetikateoreemi, mis on tegelikult tõene,
saab loogikareeglite abil tuletada G-st? Kui jah, siis on G aritmeetika jaoks täielik aksioomide kogu. Kui ei, siis ilmselt
on G-st midagi vajalikku puudu.
Kolmekümnendatel aastatel tõestas Kurt Gödel enamikule selleaja loogikutele ootamatult ühe praeguseks kuulsaima
loogikateoreemi üldse: teoreemi mittetäielikkusest. Nimetatud teoreem näitab, et aritmeetikat ei saa taandada loogikale.
Konkreetselt: ei ole olemas lõplikku baasväidete kogu G, millest saaks tuletada kõiki aritmeetikateoreeme. Ükskõik kui
palju baasväiteid aritmeetika kohta me ka G-sse ei võtaks, alati leidub matemaatiliselt õigeid aritmeetikateoreeme, mida
sellest G-st tuletada ei saa: nende jaoks tuleb hulk uusi tõeseid baasväiteid S lihtsalt juurde võtta. Seda saab muidugi
annaabi.ee 
