Kollokvium I, 2012
Lõigul pidev fun-n omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel.
Olgu { xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi Tõestus:
kohaselt sisaldab { xn} mingi koonduva osajada { xnk}. Tähistame a:= limkXnk ja nöitame, et c [ min f(x), x [a, b] ja max f(x), x [a, b] ]. Vaja näidata, et leidub d [a, b], nii et f(d) = c ja
limkXn = a. Olgu > 0 ja olgu C selline indeks, et |xn+p - xn| < /2(n > C, p N). F(d)=0
Edasi olgu K N valitud nii, et nk > C kui k > K ja |xnk - a| < /2.
Seega saame kõigi indeksite n < C puhul
|xn - a| = |xn - xnk + xnk - a| |xnk - xn| + |xnk - a| < /2 + /2 = 1) F(a) < 0 , F(b) > 0 0 1 2 . . .
annaabi.ee 
