Topoloogilised ruumid
v¨aited samav¨a¨arsed:
10 f on pidev;
aielik originaal f −1 (B) =
20 ruumi Y iga lahtise alamhulga B t¨
{ x ∈ A | f (x) ∈ B} on lahtine;
0
3 ruumi Y iga kinnise alamhulga t¨aielik originaal on kinnine;
4.1 Pidev kujutus 37
40 f (cl(A)) ⊂ cl(f (A)) iga A ⊂ X korral;
50 cl(f −1 (B) ⊂ f −1 (cl(B)) iga B ⊂ Y korral.
T˜oestus. Teoreemi t˜oestamiseks n¨aitame j¨arjekorras imp-
likatsioonid
50 =⇒ 30 =⇒ 20 =⇒ 10 =⇒ 40 =⇒ 50 .
50 =⇒ 30 . Olgu B ruumi Y kinnine alamhulk. N¨aitame,
et f −1 (B) on kinnine. Siis B = cl(B) ja tingimuse 50 ja
sulundi omaduste p˜ohjal
f −1 (B) ⊂ cl(f −1 (B)) ⊂ f −1 (cl(B)) = f −1 (B),
st f −1 (B) = cl(f −1 (B)) ja f −1 (B) on kinnine (teoreem 3.2,
30 ). J¨arelikult kehtib 30 .
30 =⇒ 20 . Olgu B ruumi Y lahtine alamhulk. Veendume,
et f −1 (B) on lahtine. Siis Y B on kinnine ja
annaabi.ee 
