Sulgude sees rakendame implikatsiooni eeldust ja edasi viime teist liitmise aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: ( + ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi: Lemma 2.1.1. 0 + 0 = 0 + 0. Selle lemma kehtimine on ilmne. Lemma 2.1.2. [0 + = + 0 0 + = + 0].
Järelikult, kui , siis Liouille'i valemi (14.5) kohaselt ka , Järeldus 1 Kui lahendite vronskiaan on null mingis punktis, siis see on konstantselt null kõigis punktides. Järeldus 2 Kui homogeense lineaarse võrrandi lahendid on lineaarselt sõltumatud, siis nende vronskiaan on nullist erinev. Teoreem 14.3 Olgu y1 ja y2 kaks lineaarselt sõltumatut lineaarse homogeense võrrandi erilahendit, siis selle võrrandi üldlahend on (14.6) Kus C1 ja C2 on suvalised konstandid. Tõestus 14.3 Lemmas 13.1 järeldub, et y(x) on homogeense lineaarse võrrandi lahend. Näitame, et mistahes algtingimuste ja jaoks saab leida konstandid C1 ja C2 nii, et need tingimused oleksid rahuldatud. Kasutades võrdust (14.6) saame, et (14.7) See on lineaarse võrrandi süsteem C1 ja C2 suhtes, mille determinant on Vrosnki determinant , sest eelduse kohaselt on lahendid ja lineaarselt sõltumatud. Järelikult on süsteemil (14.7) vaid ühene lahend, mis määrabki otsitava erilahendi.
annaabi.ee 
