"koonduvuseprintsiibi" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

Definitsiooni kohaselt leidub selline N ∈ N, et |xn − xm | < 1 kõikide n, m > N korral. Tähistame A := xN , siis |xn − A| < 1 iga n > N korral ehk A − 1 < xn < A + 1 (n > N) (selgitada!)z. Võttes m := min {x1 , . . . , xN −1 , A − 1} ja M := max {x1 , . . . , xN −1 , A + 1} , saame, et m 6 xn 6 M iga n ∈ N korral. Seega on jada (xn ) tõkestatud. Me tõestame nüüd kolmanda koonduvuseprintsiibi, mida nimetatakse Cauchy kriteeriu- miks. Teoreem 2.17 (Cauchy kriteerium). Jada koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 38 2 Arvjadad Tõestus. Tarvilikkus on tõestatud omadusega 2.15. Piisavus. Olgu (xn ) Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano– Weierstrassi teoreemi 2.14 kohaselt sisaldab jada (xn ) koonduva osajada (xnk ) . Tähistame