Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker
Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) Olgu {xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano- Weierstrassi teoreemi
> 0, et iga x ∈ (a, a + δ(ε)) korral kehtib vorratus |f(x) − b| < ε. kohaselt sisaldab {xn} mingi koonduvaosajada {xnk}. Tahistame a := limk→∞ xnk
Funktsioonil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga jada {Xn} mis koondubja naitame, et limk→∞ xn = a. Olgu ε > 0 ja olgu N selline indeks, et
punktis a korral jada {f(xn)} koondub arvuks b. |xn+p − xn| < ε/2 (n > N, p ∈ N)
Funktsioonil f eksisteerib punktis a arvuga b vorduv piirväärtus parajasti siis kui Edasi, olgu K ∈ N valitud nii, et nk > N kui k > K ja |xnk − a| < ε/2
Omadused: Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st
annaabi.ee 
