Formaalselt tähendab suvalisus seda, et peame valima uue tähise, et eeldustes ei oleks elemendi kohta midagi väidetud. Sealhulgas võib tähisena kasutada ka sedasama muutujat , kui ta ei esine eeldustes (vaba muutujana). 11. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. **Kvantorite ettetoomine. [3] o Kvantorite distributiivsus: 8x(F(x) & G(x)) = 8xF(x) &8xG(x), 9x(F(x) v G(x)) = 9xF(x) v9xG(x). o vajaduse korral konjunktsiooni ja disjunktsiooni kommutatiivsust, toome kvantorid osavalemite eest valemi ette. HULGAD, FUNKTSIOONID 10 12. Hulgateooria alusmõisted: hulk, element, hulkade võrdsus, tühi hulk. [3, 4, 5] Hulk o üksteisest erinevate objektide kohumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus iga objekti korral on võimalik üheselt kindlaks määrata, kas ta kuulub antud hulka. Element o hulka kuuluv objekt Hulkade võrdsus
ja maatriksi X = (xij ) u ¨ldelementide korral yij = xji . Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) y11 y22 . . . ynn = P (1,2,...,n) 27 = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x1 1 x2 2 . . . xn n . P (1,2,...,n) Arvestades reaalarvude korrutamise kommutatiivsust, paigutame viimase summa igas liidetavas tegurid sellises j¨arjekorras, et reaindeksid on kasvavas j¨arjekorras. P¨arast seda protseduuri veeruindeksid moodustavad mingi per- mutatsiooni (1 2 ...n ) = 1 2 . . . n . Siin bijektiivne kujutus antakse valemiga (2.5). Valemi (2.4) kohaselt on need permutatsioonid sama paar- susega. Seega (-1)I(1 ,2 ,...,n ) = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) . Me saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x11 x22 . .
Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) y1α1 y2α2 . . . ynαn = P (1,2,...,n) 27 = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) xα1 1 xα2 2 . . . xαn n . P (1,2,...,n) Arvestades reaalarvude korrutamise kommutatiivsust, paigutame viimase summa igas liidetavas tegurid sellises j¨arjekorras, et reaindeksid on kasvavas j¨arjekorras. P¨arast seda protseduuri veeruindeksid moodustavad mingi per- mutatsiooni τ (α1 α2 ...αn ) = β1 β2 . . . βn . Siin bijektiivne kujutus τ antakse valemiga (2.5). Valemi (2.4) kohaselt on need permutatsioonid sama paar- susega. Seega (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) = (−1)I(β1 ,β2 ,...,βn ) . Me saame
annaabi.ee 
