"japunktiks" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

. . }. Ilmselt A ∩ (X cl(A)) = ∅. (3.2) Kuna hulga A sulund cl(A) on kinnine hulk, siis tema t¨aiend X cl(A) on lahtine. Kui hulk X cl(A) oleks mittet¨ uhi, siis peaks ta baasi definitsiooni kohaselt avalduma u¨hendina teatavatest baasi B kuuluvatest hulkadest. See on aga v˜orduse (3.2) t˜ottu v˜oimatu. J¨arelikult X cl(A) = ∅, X = cl(A) ja X on separaabel. 3.3 Hulga raja Definitsioon 3.7 Topoloogilise ruumi X alamhulga A ra- japunktiks nimetatakse sellist punkti ruumist X, mille igas u ¨mbruses leidub nii hulga A punkte kui ka hulka A mitte- kuuluvaid punkte. Hulga A k˜oigi rajapunktide hulka t¨ahistatakse ∂A. N¨aide 3.6 L˜oigu [a; b] ⊂ R rajapunktideks on parajasti a ja b. N¨ aide 3.7 Topoloogilise ruumi X rajapunktide hulk on t¨ uhi. Teoreem 3.15 ∂A = cl(A) int(A). T˜oestus. Olgu A topoloogilise ruumi X suvaline alamhulk. Kui x ∈ cl(A) int(A), siis x ∈ cl(A) ja x ∈ int(A) ning