Kui Limn→∞|xn – x*| = 0, Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*. Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on: |g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3) Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*. Lisaks kehtib veahinnang n q | xn – x*| ≤ 1−q | x1 − x0 |. (4) Tõestus: Et x0 ∈ (a, b) ja g(x) ei vii vahemikust (a, b) välja, siis x1 = g(x0) ∈ (a, b), x2 = g(x1) ∈ (a, b), ...., xn = g(xn-1) ∈ (a, b). Et x* on võrrandi (1) täpne lahend, siis
(1.24.7) Kui q < 1, siis hinnangust (1.24.7) järeldub, et Algoritmil (1.24.3) põhinevat võrrandi (1.24.2) lahendamise meetodit nimetatakse harilikuks iteratsioonimeetodiks. 6 Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et x (a, b) korral g(x) (a, b). Olgu x0 (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*. Lisaks kehtib veahinnang n q | xn x*| 1-q | x1 - x0 |. (4) Tõestus: Et x0 (a, b) ja g(x) ei vii vahemikust (a, b) välja, siis x1 = g(x0) (a, b), x2 = g(x1) (a, b), ...., xn = g(xn-1) (a, b). Et x* on võrrandi (1) täpne lahend, siis x* = g(x*).
annaabi.ee 
