"integraaali" - 1 õppematerjal

Määramata integraalid

x2 x2 dx x2 x2 x ln x dx = ln x - = ln x - + C. 2 2x 2 4 Näide 3.12 Leida integraal x2 ex dx. Olgu u = x2 ja ex dx = dv. Siis du = 2xdx ja v = ex dx = ex (integreerimiskonstandi lisame pärast viimase integraali leidmist). Seega x2 ex dx = x2 ex - 2xex dx = x2 ex - 2 xex dx. Integraaali xex dx leidmiseks peame veelkord kasutama ositi integreerimise võtet. Valime siin u = x ja ex dx = dv. Siis du = dx ja v = ex dx = ex ning xex dx = xex - ex dx = xex - ex + C. Järelikult x2 ex dx = x2 ex - 2 xex dx = x2 ex - 2(xex - ex ) + C = x2 ex - 2xex + 2ex + C. Näide 3.13 Leida integraal (x + 2) cos x dx.  Valime siin u = x + 2 ja cos x dx = dv. Siis du = dx ja v = cos x dx = sin x ning