"induktsioonimeetodil" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

14 põhjal m − n ∈ N. Nüüd jääb üle rakendada omadust 1.12 (iseseisvalt!z). Induktsioonimeetodiga saab veel lihtsalt tõestada (iseseisvalt!)z, et järjestatud korpuse igas lõplikus alamhulgas on olemas suurim ja vähim element. Lõpmatute hulkade puhul see üldjuhul nii ei ole, küll aga kehtib järgmine väide. Omadus 1.16 Igas naturaalarvude hulga mittetühjas alamhulgas on vähim element. Tõestus. Tõestuseks näitame induktsioonimeetodil, et väide P (n) : igas alamhulgas M ⊆ N, mis sisaldab arvu n, on vähim element kehtib iga n ∈ N korral. Väide P (1) on õige: kuna arv 1 on hulga N vähim element, siis on ta vähim ka igas teda sisaldavas alamhulgas M ⊆ N. Näitame, et P (n) ⇒ P (n + 1) . Selleks eeldame, et igal arvu n sisaldaval naturaalarvude hulgal on vähim element, ja veendume, et siis on vähim element ka igal arvu n + 1 sisaldaval naturaalarvude hulgal. Olgu M ⊆ N suvaline arvu n + 1 sisaldav hulk