"induktsioonimeetodiga" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

13 põhjal m − 1 ∈ N. Eeldame, et väide kehtib juhul n, s.t. m − n ∈ N, ja veendume, et m − (n + 1) ∈ N. Selleks rakendame veel kord lemmat 1.13, mille kohaselt m − (n + 1) = (m − n) − 1 ∈ N. Väide on tõestatud. Järeldus 1.15 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m > n + 1. Tõestus. Rahuldagu naturaalarvud m ja n võrratust m > n, siis omaduse 1.14 põhjal m − n ∈ N. Nüüd jääb üle rakendada omadust 1.12 (iseseisvalt!z). Induktsioonimeetodiga saab veel lihtsalt tõestada (iseseisvalt!)z, et järjestatud korpuse igas lõplikus alamhulgas on olemas suurim ja vähim element. Lõpmatute hulkade puhul see üldjuhul nii ei ole, küll aga kehtib järgmine väide. Omadus 1.16 Igas naturaalarvude hulga mittetühjas alamhulgas on vähim element. Tõestus. Tõestuseks näitame induktsioonimeetodil, et väide P (n) : igas alamhulgas M ⊆ N, mis sisaldab arvu n, on vähim element kehtib iga n ∈ N korral.