"i0i1i2" - 1 õppematerjal

DME Eksamiks kordamise konspekt

B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestuse idee. Piisab tõestada, et P(N) [0, 1). a) Naturaalarvude hulga igale alamhulgale A seame vastavusse reaalarvu 0,i0i1i2 . . . , kus ik = 1 või ik = 0 vastavalt sellele, kas k A või k 6 A. b) Reaalarvule x [0, 1) seame vastavusse alamhulga, mis sisaldab / ei sisalda 5 elementi k vastavalt sellele, kas lõigu [0, 1) k-ndal pooleksjagamisel jääb arv x esimesse või teise poolde. Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus on väiksem hulga B võimsusest, kui A võimsus ei ületa B