"hk0" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

(fk ) on lõigus [a, b] monotoonne, siis fk → f ühtlaselt lõigus [a, b] . Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu (fk ) lõigus [a, b] kasvav jada, s.t. fk (x) 6 fk+1 (x) (x ∈ [a, b] , k ∈ N) . Tähistame hk := f − fk , siis funktsioonid hk on lõigus [a, b] pidevad, seejuures hk (x) → 0 ja hk (x) > hk+1 (x) iga x ∈ [a, b] korral. Paneme tähele, et hk (x) > 0 kõikide k ∈ N ning x ∈ [a, b] puhul. Nimelt, kui oletada vastuväiteliselt, et hk0 (x0 ) < 0 mingite k0 ∈ N ning x0 ∈ [a, b] korral, s.t. ε := fk0 (x0 ) − f (x0 ) > 0, siis fk (x0 ) − f (x0 ) > fk0 (x0 ) − f (x0 ) = ε > 0 (k > k0 ) , seega fk (x0 ) 9 f (x0 ), mis on vastuolus lause eeldustega. Näitame, et hk → 0 ühtlaselt lõigus [a, b]. Kuna (hk ) on kahanev jada, siis piisab veenduda, et iga ε > 0 puhul saab valida sellise indeksi k0 , et hk0 (x) < ε iga x ∈ [a, b] korral (põhjendada!)z.