"hisosata" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

n ≥ n0 =⇒ xn ∈ B(x; s) ∩ B(y; s).  ¨ 2.5 Ulesandeid 23 See aga on vastuolus v˜ordusega (2.4). Vastuolu tulenes eel- dusest, et x = y. J¨arelikult x = y. Teoreemi 2.5 t˜oestuse k¨aigus n¨aitasime v˜orduse (2.4) eel- dusel, et x = y. Saadud tulemus v¨a¨arib esilet˜ostmist. Teoreem 2.9 Meetrilises ruumis igal kahel erineval punktil leiduvad mittel˜oikuvad (st u ¨hisosata) u ¨mbrused. Kuna nii normeeritud ruumis kui ka eukleidilises ruumis on topoloogia defineeritud meetrika abil, siis ka nendes ruu- mides on koonduva jada piirv¨a¨artus u ¨heselt m¨a¨aratud. ¨ 2.5 Ulesandeid 2.1 Hulgal X olgu antud topoloogiad T1 ja T2 , milles punk- tide x ∈ X u ¨mbruste baasideks on vastavalt B1 (x) ja B2 (x). N¨aidata, et T1 = T2 parajasti siis, kui iga x ∈ X, A ∈ B1 (x)