Kasutame Langrange’i keskväärtusteoreemi: (Punktide xn-1 ja x* vahel leidub punkt cn nii, et g(xn-1) – g(x*) = g’(cn)(xn-1 – x*).) Seega Xn – x* = g’(cn)(xn-1 – x*). Teame, et xn-1, x* ∈ (a, b), järelikult ka cn ∈ (a, b). Meie eelduse põhjal |g’(cn)| ≤ q < 1. Järelikult |xn – x*| = |g’(cn)(xn−1 – x*)| = |g’(cn)||(xn−1 – x*)| ≤ q|(xn−1 – x*)|. Rakendame seda hinngangut korduvalt |xn – x*| ≤ q|xn−1 – x*| ≤ q2|xn−2 – x*| ≤ . . . ≤ qn|x0 – x*|. Näitasime, et |xn – x*| ≤ qn|x0-x*|. (5) Et q < 1, siis qn → 0, kui n → ∞. Seega |xn – x*| → 0, kui n → ∞. Koondumine xn → x* on näidatud. Valem (5) ei sobi praktilistes arvutustes, sest paremal pool on tundmatu suurus x*. Tuletame praktilisema hinnangu.
Kasutame Langrange'i keskväärtusteoreemi: (Punktide xn-1 ja x* vahel leidub punkt cn nii, et g(xn-1) g(x*) = g'(cn)(xn-1 x*).) Seega Xn x* = g'(cn)(xn-1 x*). Teame, et xn-1, x* (a, b), järelikult ka cn (a, b). Meie eelduse põhjal |g'(cn)| q < 1. 7 Järelikult |xn x*| = |g'(cn)(xn-1 x*)| = |g'(cn)||(xn-1 x*)| q|(xn-1 x*)|. Rakendame seda hinngangut korduvalt |xn x*| q|xn-1 x*| q2|xn-2 x*| . . . qn|x0 x*|. Näitasime, et |xn x*| qn|x0-x*|. (5) Et q < 1, siis qn 0, kui n . Seega |xn x*| 0, kui n . Koondumine xn x* on näidatud. Valem (5) ei sobi praktilistes arvutustes, sest paremal pool on tundmatu suurus x*. Tuletame praktilisema hinnangu.
annaabi.ee 
