"hendatavad" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

7 Seose σ ekvivalentsiklasse [x] nimeta- takse topoloogilise ruumi X lineaarse sidususe kompo- nentideks. Teoreem 8.44 Topoloogilise ruumi X iga lineaarse sidususe komponent on lineaarselt sidus alamruum ruumis X. T˜oestus. Olgu K topoloogilise ruumi X lineaarse sidususe komponent. Valime x, y ∈ K ja n¨aitame, et nad on u ¨henda- tavad teega ruumis K. Kuna K on lineaarse sidususe kompo- nent, siis (x; y) ∈ σ ning x ja y on u ¨hendatavad teega ruumis X: l : I −→ X, l(0) = x, l(1) = y (8.20) 8.4 Lokaalselt lineaarsed sidusad ruumid 97 (l - pidev). N¨aitame, et kujutuse l v¨a¨artused kuuluvad hulka K, st l(I) ⊂ K. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et l(I) ei sisaldu hulgas K. Siis leidub selline t0 ∈ I, et l(t0 ) ∈ K. Seejuures t0 = 0 ja t0 = 1 seoste (8.20) t˜ottu. Defineerime kujutuse s : I −→ X reegliga r(t) = l(tt0 ). Kuna l on pidev, siis ka r on pidev