"heelemendili" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

U (A) on hulga A u ¨mbrus. Analoogiliselt saab iga y ∈ B jaoks vaadelda arvu dA (y) = inf { d(x, y) | x ∈ A } > 0 ja lahtisi kerasid U (y) = B(y; 0, 5 · dA (y)) ning lahtist hulka U (B) = ∪y∈B U (y), mis on hulga B u ¨mbruseks. Hulkade U (A) ja U (B) konstruktsiooni kohaselt U (A) ∩ U (B) = ∅. On n¨aidatud, et X on T4 -ruum. Kuna ruum X rahuldab tingimust T1 , siis teoreemi 6.1 p˜ohjal tema iga u ¨heelemendili- ne alamhulk on kinnine ja tingimuse T3 t¨aidetus ruumis X j¨areldub tingimuse T4 t¨aidetusest. Viimasest teoreemist j¨areldub, et iga normeeritud ruum ja ruum Rn rahuldavad tingimusi T0 , T1 , T2 , T3 , T4 . Definitsioon 6.2 N˜oudeid T0 , . . . , T4 nimetatakse eral- duvuse aksioomideks. Definitsioon 6.3 Eralduvuse aksioomi T2 rahuldavat to- poloogilist ruumi nimetatakse Hausdorffi ruumiks. 64 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi