1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Tõestus Joone puutuja tõus punktis võrdub funktsiooni tuletisega siis võime järeldada, et seal kus f' kasvab on joon nõgus ja kahanedes kumer. Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast Teoreem Käänupunkti vajalik tingimus Kui on joone käänupunkt, siis on funktsiooni teist järku kriitiline punkt. Vastupidine väide ei kehti, sest funtksioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus käänupunkti ei esine. Tõestus Näiteks funktsioonil on teist järku kriitiline punkt , kuid selle funktsiooni tuletis kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud ka . Järelikult on funktsioon kõikjal nõgus ja tal ei esinegi käänupunkte. Teoreem Käänupunkti piisav tingimus Olgu funktsiooni teist järku kriitiline punkt, kui läbides seda punkti teine tuletis märki muudab on joone käänupunkt. Tõestus
M y= f (x ) µ a b x m Joonis 1.5: V¨aa¨rtus suurima ja v¨ahima vahel J¨areldus 11.3. Kui pidev funktsioon f (x) omab l~oigul [a; b] negatiivseid ja positiivseid v¨a¨artusi, siis on sellel funtksioonil v¨ahemalt u ¨ks nullkoht l~oigul [a; b]. T~oepoolest, kui funktsioonil on negatiivseid v¨a¨artusi l~oigul [a; b], siis m < 0 ja kui on positiivseid v¨a¨artusi, siis M > 0. J¨arelikult m < 0 < M ja omaduse 2 j¨argi v¨ahemalt u ¨ks selline [a; b], et f () = 0. N¨ aide 11.1. V~orrandil x3 - 3x2 + 2 = 0
annaabi.ee 
