"fn0" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Siis iga n ∈ N korral X = ∪ni=1 Ai ja Fn = X (∪ni=1 Ai ) = ∩ni=1 (X Ai ) = ∅, kusjuures F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . . (7.8) Hulgad X Ai on kinnised kui lahtiste hulkade t¨aiendid. See- p¨arast on ka hulgad Fn kinnised. N¨aitame, et ∩∞ i=1 Fn = ∅. (7.9) Jada F = {Fn }n∈N puhul on kaks v˜oimalust: 1) leidub indeks n0 nii, et Fn = Fn0 iga n ≥ n0 korral; 2) jadas F leidub l˜opmatu palju erinevaid hulki. Juhul 1) tingimus (7.9) ilmselt kehtib. Juhul 2) leiduvad sellised indeksid k((1), k(2), . . . , et k(1) < k(2) < . . . , Fk(1) = Fk(2) = . . . . Siis tingimusest (7.8) Fk(n) Fk(n+1) = ∅ iga n korral ja leidub xn ∈ Fk(n) Fk(n+1) . Tekib jada ξ = {xn }n∈N ruumi X erinevatest elementidest. Tingimuse 20 t˜ottu leidub jadal ξ piirpunkt x