"emendi" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

6) Kuna x on jada ξ piirpunkt, siis igasse hulka Ui , i ∈ N, kuulub l˜opmata palju jada ξ elemente ning j¨argnev konstruktsioon on v˜oimalik. Asume konstrueerima koonduvat osajada ζ = {yn }n∈N jadale ξ. Jada ζ elemendid moodustame induktiivselt. Ele- mendiks y1 valime v¨ahima indeksiga elemendi jadast ξ, mis kuulub punkti x u ¨mbrusesse U1 , st y1 = xn(1) , kus n(1) = min{ m | m ∈ N, xm ∈ U1 }. Oletame, et elemendid y1 , . . . , yk on juba konstrueeritud. El- emendi yk+1 saamiseks leiame n(k + 1) = min{ m | m ∈ N, m > n(k), xm ∈ Uk+1 }. 74 7 KOMPAKTSUS Siis valime yk+1 = xn(k+1) . Induktsiooniprintsiibi kohaselt on jada ζ = {yn }n∈N t¨aielikult m¨a¨aratud. Vastavalt konstrukt- sioonile yn ∈ Un (7.7) iga n ∈ N korral. N¨aitame, et x on jada ζ piirv¨a¨artus. Valime punkti x mis tahes u ¨mbruse U . Punkti u