Kontrollime ekvivalentsi omaduste kehtivust. · Relatsioon on refleksiivne, sest iga positiivse reaalarvu x korral kehtib x3 = x3 , st (x, x) R. · Relatsioon on sümmeetriline, sest kui x3 = y 3, siis ka y 3 = x3 , st kui (x, y) R, siis ka (y, x) R. · Relatsioon on transitiivne, sest kui x3 = y 3 ja y 3 = z 3 , x3 = z 3 , st kui (x, y) R ja (y, z) R, siis ka (x, z) R. Seega see relatsioon on ekvivalents. Materjal õpikus. Lk 9092 (ekvivalentsirelatsioon). Lk 9495, ülesanded 510, 1924. Kontrolltöö lahendused Diskreetsed struktuurid 2. variant Ülesanne 1. Raamat Mittediskreetne matemaatika koosneb 4-st peatükist, igaühes 7 teoreemi. Eksamiülesannete komplekt peab sisaldama 10 teoreemi tõestust, sealjuures igast peatükist vähemalt 2. Mitu võimalust on koostada nendele tingimustele vastav teoreemide tõestustest koosnev eksamikomplekt
o Antisümmeetrilise relatsiooni Boole’i maatriksis on iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes sümmeetriline element 0. 20 o Antisümmeetrilise relatsiooni graafis pole kahte vastassuunalist kaart. Transitiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse transitiivseks, kui (x,y)∈R ja (y,z)∈R korral alati (x,z)∈R o Kui on olemas paar (y,z) ja (x,y), siis peab olema ka (x,z). 24. Ekvivalentsirelatsioon. Tähtsamad näited. Ekvivalentsiklassid. Näited. [2] Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks. [3] Ekivalentsirelatsioon o Relatsioon, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne o Võrdus on ekvivalentsirelatsioon, võrratused ja mittevõrdus ei ole. Ekivalentsiklassid o DEF: Hulgal X määratud ekvivalents jagab selle hulga klassideks, seejuures on klassid omavahel lõikumatud ja üheskoos katavad nad kogu hulga X. Ühte klassi kuuluvad
relatsiooni R järgi: [x]R = {y X | xRy}. Näide: Olgu X lausemuutujatest A ja B moodustatud lausearvutuse valemite hulk ja FRK tähendagu valemite F ja G samaväärsust. Siis valemi F ekvivalentsiklass on kõigi temaga samaväärsete ainult muutujaid A ja B sisaldavate valemite hulk. Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. c. Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks: Kui R on hulgal X defineeritud ekvivalentsirelatsioon, siis kehtib: i. Kui kehtib xRy, siis [x]R = [y]R, ii. Kui xRy ei kehti, siis [x]R [y]R = , iii. Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X. Tõestus. 1) Kehtigu xRy. Vastavate ekvivalentsiklasside võrduse näitamiseks näitame, et kumbki on teise alamhulk. Olgu z [x]R. Näitame, et siis ka z [y]R. Ekvivalentsiklassi definitsioonist saame z kohta xRz. Relatsiooni R
annaabi.ee 
