"eelnevaast" - 1 õppematerjal

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

Siis a ≤ b. Oletame vastuväiteliselt, et a > b, ja veendume, et see oletus viib vastuolule. Võtame ε := (a−b)/2 , siis ε > 0. Kuna x n → a ja yn → b, siis vastavalt piirväärtuse definitsioonile saame valida niisugused N1,N2 ∈ N, et n ≥ N1 ⇒ |xn − a| < ε ja n ≥ N2 ⇒ |yn − b| < ε ehk a − ε < xn < a + ε, kui n ≥ N1, ja b − ε < yn < b + ε, kui n ≥ N2. Olgu n := max {N0,N1,N2}. Kuna b + ε = b +(a – b)/2 =(a + b)/2= a – (a – b)/2= a − ε, siis eelnevaast seostest saame, et yn < b + ε = a − ε < xn, mis on vastuolus eeldusega 3) (peame silmas, et n ≥ N 0). Väide on tõestatud. 10. Koonduvate jadade teine järjestusega seotud omadus (nn. “võileivaomadus”) (*) Tõestada lause 2.5: Lause koonduvate jadade piirväärtuse monotoonsusest 1) ∃ N0 iga n (n ≥ N0 xn≤ zn ≤ yn) 2) lim xn = a } => lim zn = a 3) lim yn = a Tõestus: Kehtigu 1), 2), 3) Vaja näidata, et lim zn = a s.t.