"dorffi" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Definitsioon 7.8 Ruumi Rn alamhulka A nimetatakse t˜ okestatud hulgaks, kui leidub selline lahtine kera B(θ; r), et A ⊂ B(θ; r) (siin θ = (0; 0; . . . 0)). Teoreem 7.32 (Heine-Boreli teoreem). Ruumi Rn alamhulk A on kompaktne parajasti siis, kui ta on kinnine ja t˜ okestatud. 80 7 KOMPAKTSUS T˜oestus. Oletame, et A on kompaktne. Kuna Rn on Haus- dorffi ruum, siis teoreemi 7.2 p˜ohjal A on kinnine. Lahtiste kerade hulk A = { B(θ; n) | n ∈ N } moodustab hulgale A (aga ka ruumile Rn ) lahtise katte. Hulga A kompaktsuse t˜ottu leidub sel kattel l˜oplik osakate B(θ; n1 ); . . . ; B(θ; nk )}, kus n1 < . . . < nk . Et B(θ; n1 ) ⊂ B(θ; n2 ) ⊂ . . . ⊂ B(θ; nk ), siis A ⊂ B(θ; nk ) ja hulk A on t˜okestatud. On n¨aidatud, et iga kompaktne hulk ruumis Rn on kinnine ja t˜okestatud.