omab funktsioon lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on funktsioon diferentseeruv selles punktis, mistõttu fermat'lemma põhjal saamegi Geomeetrliline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni sile joon, mille otspunktid asuvad x telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null e graafiku puutuja on paralleelne x teljega. Caucy teoreem Kui funktsioonid f ja g on: · Lõigul [a,b] pidevad · Vahemikus (a,b) diferentseeruvad · Iga korral kehtib võrratus Siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Defineerime järgmise funktsiooni: Arvutame: Järelikult , ühtlasin on F(x) pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), mistõttu rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Selle põhjal leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii et F'(c)=0
Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. 11. Caucy teoreem (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b) diferentseeruvad ja iga x (a, b) korral kehtib võrratus g(x) 0, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et = Tõestus: Defineerime järgmise funktsiooni: F(x) = f(x) (g(x) - g(a)) . Arvutame: F(a) = f(a) · (g(a) - g(a)) = f(a), F(b) = f(b) (g(b) - g(a)) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a) Seega F(a) = F(b)
annaabi.ee 
