48. Lin konstantsete kordajatega (H) II järku DV Def.y''+py'+qy=f(x), p,q IR, Hom II järku lin konst kord DV: y''+py'+qy=0, selle hom võrr üldlah avaldub kujul yHÜ=C1y1+C2y2, kusjuures y1/y2 const, ehk sõltumatud erilahendid; y1=?, y2=?, Oletame, et y=ekx, see on lah=> y'=kekx, y''=k2ekx *As (HL) k2ekx+pkekx+qekx=0; ekx(k2+pk+q)=0=> on selline lah kui teine tegur on 0: k2+pk+q=0 so (HL)karakteristlik võrrand 1)k1 k2: y1=ek1x, y2=ek2x=> y1/y2=ek1x/ek2x=e(k1-k2)x 0; yHÜ= C1ek1x+C2ek2x 2)k1=k2= ; y1=e x, y2=e x; y1/y2=e x/e x =e0=1= const =>sõltuvad! *Vieti valemid: p=- (k1+k2)=-2 , q=k1k2= 2 *võrrand: y''-2 y'+ 2y=0 *täh y=uv *arv y'=u'v+uv'; y''=u''v+2u'v''uv'' *as võrrandisse: u''v +2u'v'+uv''-2 u'v-2 uv'+ 2uv=0 => v(u''-2 u'+ 2u) +2v'(u'- u)+uv''=0 *I abiül : u'- u=0 ->I järku DV u määramiseks (E), v'= u : eraldame muutujad du/dx= u |dx/u =>du/u= dx ->ln|u|= dx => u=e x, u'= e x, u''= 2e x *As v( 2e x-2 * e
y=ekx, kus k=const, siis y'=kekx, y''=k2ekx . Asendades need esimesse võrrandisse, same ekx (k2+pk+q)=0, kuna ekx 0, siis k2+pk+q=0. Viimast võrrandit nimetatakse karakteristlikuks võrrandiks. See on ruutvõrand, millel on kaks lahendit. Võimalikud on 3 juhtu: 1) Karakteristliku võrrandi lahendid on reaalsed ja erinevad : k1k2 . Erilahenditeks on funktsioonid y1=ek1x, y2=ek2x , need lahendid on lineaarselt sõltumatud, sest y2/y1const. Üldlahendil on kuju y=C1ek1x+C2ek2x 2) Karakteristliku võrrandi lahendid on komplekssed: k1=+i , k2= i, kus =-(p/2) , !! = - ! Erilahendi võib kirjutada kujul y1=e(+i)x, y2=e( - i)x. Üldlahendil on kuju y=C1excosx+C2 exsinx. Erijuht on see kui karakteristliku võrrandi lahendid on puhtimaginaarsed, selleks peab p=0 ja tal on kuju y''+qy=0, karakteristlik k2+q=0 ja üldlahend y= C1cosx+C2sinx
annaabi.ee 
