"alamsum" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

... 0 6 S (Tp−1 ) − S (Tp ) 6 (M − m) λ (Tp−1 ) , nende võrratuste liitmisel saame, et 0 6 S (T ) − S (T ′ ) = S (T0 ) − S (T p) 6 (M − m) (λ (T0 ) + . . . + λ (Tp−1 )) 6 p (M − m) λ (T0 ) = p (M − m) λ (T ) (selgitada!)z. Sellega on võrratus (5.5) tõestatud, võrratuse (5.6) tõestus on analoogiline. Omadus 5.3 Alajaotuse peenendamisel ei saa Darboux’ ülemsumma kasvada ega alamsum- ma kahaneda. Tõestus. See on vahetu järeldus võrratustest (5.5) ja (5.6). Omadus 5.4 Ükski alamsumma ei ole suurem ühestki ülemsummast. Tõestus. Olgu T ja T ′ lõigu [a, b] kaks suvalist alajaotust, meie eesmärk on veenduda, et s (T ′ ) 6 S (T ). Kui T ′′ = T ∪T ′ , siis T ′′ on peenem alajaotustest T ja T ′ , mistõttu omadusest 5.3 saame võrratused s (T ′ ) 6 s (T ′′ ) 6 S (T ′′ ) 6 S (T ) (selgitada!)z. 5.2