"alamruumile" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

¨ 5.6 Ulesandeid 5.1 Olgu A topoloogilise ruumi X alamruum ja B ⊂ A. T¨ahistagu clA (B) hulga B sulundit ruumis A ja clX (B) hulga B sulundit ruumis X. N¨aidata, et clA (B) = A ∩ clX (B). 5.2 Olgu Y topoloogilise ruumi X kinnine alamhulk ja A ⊂ Y . N¨aidata, et kui A on kinnine alamruumis Y , siis ta on kinnine ka ruumis X. 5.3 N¨aidata, et kui f : X −→ Y on pidev kujutus ruumist X ruumi Y ja A ⊂ X, siis kujutuse f ahend f |A alamruumile A on pidev kujutus f |A : A −→ Y . 5.4. Olgu Sn = { x0 ; x1 ; . . . ; xn ) | ni=0 x2i = 1 } n-m˜o˜otmeli- ne sf¨a¨ar ja p = (1; 0; . . . ; 0) ∈ Sn . N¨aidata, et Sn {p} ≈ Rn , kui hulka Sn {p} vaadelda ruumi Rn+1 alamruumina. 5.5. N¨aidata, et lahtine kera B(θ; 1) ruumis Rn on hom¨oo- morfne kogu ruumiga Rn (θ = (0; 0; . . . ; 0)). 5.6. Defineerime ruumi R2 kinnises keras B(θ; 1) ekviva- lentsiseose σ j¨argnevalt: kera B(θ; 1) punktid x ja y loeme