"alamruu" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

u ¨lemise ja alumise raja sup f (X) = b ja inf f (X) = c. Arvud b ja c on hulga f (X) puutepunktid. Hulga f (X) kinnisuse t˜ottu b, c ∈ f (X). Arv b on hulga f (X) suurim ja arv c v¨ahim element. 84 7 KOMPAKTSUS Teoreemi 7.8 eeldustel kujutus f ei pruugi omada iga v¨a¨ar- tust suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel, st hulgad f (X) ja [c; d] ei pea omavahel v˜orduma. N¨aide 7.2 Vaatleme hulka X = [0; 1] ∪ [2; 3] alamruu- mina ruumis R. Ruum X on kompaktne. Olgu kujutus f : X −→ R antud reegliga f (x) = x. Siis hulga f (X) = X suurim element on 3 ja v¨ahim element on 0, kuid f (x) ei oma ¨hegi x ∈ X korral. v¨a¨artust 1, 5 mitte u ¨ 7.6 Ulesandeid 7.1 Olgu G topoloogilise ruumi X lahtine alamhulk ja K ⊂ G. N¨aidata, et K on kompaktne alamruumis G parajasti siis, kui ta on kompaktne ruumis X. 7.2 Olgu X l˜opmatu hulk ja Tl l˜oplik topoloogia hulgal X.