"alamkatte" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

Nimelt, olgu f tõkestatud lõigus [a, b], olgu M = sup f (x) ning oletame väitevastaselt, et f (x) < M iga x ∈ [a, b] korral. Iga x ∈ [a, b] x∈[a,b] jaoks olgu valitud εx ∈ (0, M −f (x)). Kuna f on pidev lõigus [a, b], siis iga x ∈ [a, b] jaoks leidub δεx > 0 omadusega, et f (z) < f (x) + εx < M , kui z ∈ Uδεx (x) ∩ [a, b]. NüüdnHeine–Boreli lemmaovõimaldab S lõigu [a, b] kattest Uδεx : x ∈ [a, b] eraldada lõpliku alamkatte S Uδεx : k = 1, . . . , n ⊇ [a, b]. k Niisiis osutub, et iga z ∈ [a, b] jaoks f (z) < max{f (xk ) + εxk : k = 1, . . . , n} < M , mis on vastuolus sellega, et M on f väärtuste hulga vähim ülemine tõke. 3.7