Loogika aine ja ajalugu
Mis juhtub,
kui meil tekib vajadus samamoodi baasreeglitena uskuma hakata induktsioonireeglist veel palju keerulisemaid
matemaatilisi väiteid?
Vaatame esialgu aritmeetika piiratud varianti, nn. Presburgeri aritmeetikat. Viimases defineeritakse üksainus tehe -
liitmine - ja kirja on võimalik panna mitmesuguseid teoreeme liitmise kohta. Saab näidata, et niisugune ainult liitmist
sisaldav aritmeetika on lõpliku hulga väidete Q abil täielikult aksiomatiseeritav. St, iga matemaatiliselt õige teoreem
selles aritmeetikas on loogiliselt tuletatav Q-s sisalduvatest baasväidetest, sellele vaatamata, et täisarve on lõpmatult
palju.
Liigume nüüd edasi piiranguteta aritmeetika juurde. Piirangute kaotamiseks piisab korrutamise lubamisest: nimelt saab
liitmise ja korrutamise abil defineerida ka teised tuntud aritmeetikatehted.
Olgu meil hulk aritmeetika aluseid kirjeldavaid baasväiteid G. Kas iga aritmeetikateoreemi, mis on tegelikult tõene,
annaabi.ee 
