"aitevastaselt" - 1 õppematerjal

Kolokvium 1 materjal

1.9. L~ oigul pidevate funktsioonide omadused Vaatleme j¨argnevalt l~ ¨ oigul [a, b] pideva funktsiooni f (x) omadusi. Oeldakse, et funktsioon on pidev l~ oigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus (a, b) ja punktis a on pidev paremalt ja punktis b pidev vasakult. Lause 1. L~ oigul pidev funktsioon on t~okestatud sellel l~oigul. T~ oestus. Olgu f (x) C[a, b]. Eeldame v¨aitevastaselt, et funktsioon f (x) on t~okestamata sellel l~ oigul, st suvalise n N korral leidub selline xn [a, b], et n |f (xn )| n. Moodustame sel viisil jada {xn }, kusjuures f (xn ) . Et xn [a, b], siis jada {xn } on t~ okestatud. Bolzano-Weierstrassi teoreemi p~ohjal v~oib t~okestatud jadast {xn } eraldada koonduva osajada {xnk }. Seega, lim xnk = c [a, b]. Kasu- k+