Topoloogilised ruumid
¨mbrus U , et f (U ) ⊂ V . Siis (g ◦ f )(U ) = g(f (U )) ⊂ g(V ) ⊂
u
W , st g ◦ f on pidev punktis x.
20 J¨areldub vahetult teoreemi esimese v¨aite t˜oestusest ja
pidevuse definitsioonist.
J¨argnevas teoreemis esitatakse pidevusega samav¨a¨arsed
n˜ouded.
Teoreem 4.17 Kujutuse f : X −→ Y jaoks on j¨
argmised
v¨aited samav¨a¨arsed:
10 f on pidev;
aielik originaal f −1 (B) =
20 ruumi Y iga lahtise alamhulga B t¨
{ x ∈ A | f (x) ∈ B} on lahtine;
0
3 ruumi Y iga kinnise alamhulga t¨aielik originaal on kinnine;
4.1 Pidev kujutus 37
40 f (cl(A)) ⊂ cl(f (A)) iga A ⊂ X korral;
50 cl(f −1 (B) ⊂ f −1 (cl(B)) iga B ⊂ Y korral.
T˜oestus. Teoreemi t˜oestamiseks n¨aitame j¨arjekorras imp-
likatsioonid
50 =⇒ 30 =⇒ 20 =⇒ 10 =⇒ 40 =⇒ 50 .
50 =⇒ 30
annaabi.ee 
