"aditiivsuseomadust" - 1 õppematerjal

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

(*) Tõestada keskväärtusteoreemi abil põhiteoreem 12.8 Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b] diferentseeruv ja G′ (x) = f (x) iga x ∈ [a, b] korral. Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Eeldame, et f : [a, b] → IR on pidev funktsioon. Olgu x ∈ [a, b] suvaline, näitame, et funktsioon G on punktis x diferentseeruv. Kui z ∈ [a, b] ning z ≠ x, siis, arvestades integraali aditiivsuseomadust (vt. lause 12.2) ja kokkulepet (12.1), saame, et , seega Rakendades integraali keskväärtusteoreemi (vt. lause 12.7), leiame arvude x ja z vahel sellise punkti c (z), et kehtib võrdus , niisiis Kuna c (z) paikneb punktide x ja z vahel, siis protsessis z → x punkt c (z) läheneb punktile x, seejuures tänu funktsiooni pidevusele . Niisiis