Keskväärtuse omadused: Olgu X,Y ja X1, X2,...,Xn juhuslikud suurused, siis 1) E(c)=c, kui c on konstant. Tõestus!Ec=c, Ec=c*1=c 2) E(cX)=cE(X) Tõestus! E(cX)= ni=1c*xi*f(xi)=c ni=1xi*f(xi)=c*EX. 3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(X 1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn) Tõestus!! E(X+Y)= i=1* j=1(xi+yj) P(X=xi; Y=yj)= i=1* j=1xiP(X=xi; Y=yj)+ i=1* j=1yjP(X=xi; Y=yj)= ni=1xiP(X=xi)+ n m n m n m mj=1yjP(Y=yj)= ni=1xifx(xi)+ mj=1yjfy(yj)= EX+EY 4) E(X+c)=E(X)+c Tõestus!! E(X+c)=EX+Ec=EX+c 5) E(XY)=E(X)E(Y), kui P(X=x i ja Y=yj)=P(X=xi)P(Y=xj)= fx(xi)fy(yj), mistahes i, j korral (St
Regressioonsõltuvuse kordajad: ( , ) = √ ; ( , )= √ ∈ [0;1] ( ) ( ) 30. Tinglik keskväärtus. Definitsioon. Tema omadused. Neist 2 tõestusega Juhusliku suuruse X tinglikuks keskväärtuseks tingimused Y nimetatakse järgmist juhuslikku suurust E(X|Y) = ∑ni=1xiP(X=xi|Y=yj) (=∑ni=1xipij/p.j). Analoogiliselt E(Y|X). Omadused: 1. E(E(X|Y)) = E(X) ja E(E(Y|X)) = E(Y). Tõestus: ( ( | )) = ∑ ∑ . . = ∑ ∑ = ∑ .= ( ) 2. Olgu X⊥Y, siis E(X|Y) = E(X) ja E(Y|X) = E(Y). . . Tõestus: ( | ) = ∑ = ∑ = ∑ . = ( )
D(E ( Y |X )) D (Y ) 29. Tinglik keskväärtus. Definitsioon. Tema omadused. Neist 2 tõestusega ∈ [0;1] Juhusliku suuruse X tinglikuks keskväärtuseks tingimused Y nimetatakse järgmist juhuslikku suurust E(X|Y) = ∑ni=1xiP(X=xi|Y=yj) (=∑ni=1xipij/p.j). Analoogiliselt E(Y|X). Omadused: 1. E(E(X|Y)) = E(X) ja E(E(Y|X)) = E(Y). Tõestus: m n n m n pij E ( E ( X|Y ) ) =∑ ∑ x i p . j =∑ x i ∑ pij =∑ x i pi .=E (X ) j=1 i=1 p
annaabi.ee 
