"vaatlemef" - 1 õppematerjal

Matemaatiline analüüs - konspekt I

valem. f(a)-f(b)= (a-b)f'(c) Lagrange'i valem, lõpliku muudu valem. Tõestus. vaatleme f.-ni (x)=(a-b)(f(x)-f(b))- (x-b)(f(a)-f(b)) See f. on pidev lõigul (a,b), dif.-uv vahemikus (a,b), (a)=(b)=0. Järelikult Rolle`i teor.-i kohaselt leidub punkt c(a,b), nii et (c)=0 '(x)=(a- b)f'(x)-(f(a)-f(b)). `(c)=(a-b)f'(c)-(f(a)-f(b))=0. Siit saamegi Lagrange`i valemi. Mott. Sageli omab see valem kuju f(x)-f(x0)= (x-x0)f'().Teoreem (Cauchy teor.) f(a)-f(b)/g(a)-g(b)= f'(c)/g'(c), g'(c)0. Tõestus. Vaatlemef-ni F(x)=(g(a)-g(b))(f(x)-f(b))- (g(x)-g(b))(f(a)-f(b)). F(x) on 1)on pidev lõigul (a,b) 2)dif.-uv vahemikus (a,b) 3)F(a)=F(b)=0. Vastavalt Rolle`i teoreemile leidub c(a,b), et F'(c)=0 F'(x)= (g(a)-g(b))f'(x)-g'(x)(f(a)-f(b)) F'(c)= (g(a)-g(b))f'(c)- g'(c)(f(a)-f(b))=0 g'(c)0, sest muidu järelduks, et ka f'(c)=0, mis on võimatu. (g(a)-g(b))f'(c)= g'(c)(f(a)-f(b)) Pärast mõlema poole jagamist (g(a)-g(b) ­ ga ja g'(c) ­ ga saamegi Cauchy valemi. Mott