Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad? Universaalhulk Hulkade ühisosa on hulkade korrutamine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on väiksem kui operanidideks olnud hulgad. Hulgaelementide loetelut esitatakse {loogsulgude vahel} Tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks Väär Hulka ennast tähistatakse tavaliselt suurtähega ja hulga elemente tähistatakse tavaliselt väiketähetedega. Hulkade esitamise viisid: Hulgaelementide täielik loetelu Hulgaelementide osaline loetelu, milles nähtub mingi regulaarne seaduspärasus Venni diagramm koos hulgaelementidega Tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral Hulkade ühend on hulkade liitmine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on
Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on võrdsed Küsimus 10 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on loenduv, siis on ta ka lõplik Vali üks: Tõene Väär Küsimus 11 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? ( sisesta õige sõna ) Vastus: universaalhulk Küsimus 12 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? hulga täiend on osa universaalhulgast Vali üks: Tõene Väär Küsimus 13 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Iga hulk on iseenda osahulgaks Vali üks: Tõene Väär Küsimus 14 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: Hulka ennast tähistatakse tavaliselt ja hulga elemente tähistatakse tavaliselt
vali õiged: hulkade ühend on hulkade liitmine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul) suurem kui operandideks olnud hulgad Küsimus 6 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? (sisesta arv) Vastus: 1 Küsimus 7 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 kas järgnev väide on õige või vale ? tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks. Valige üks: Tõene Väär Küsimus 8 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? ( sisesta õige sõna ) Vastus: universaalhulk Küsimus 9 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on lõplik, siis on ta ka loenduv Valige üks: Tõene Väär
Millal on mingi hulk teise hulga osahulk? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk.
Question 3 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? Correct ( sisesta õige sõna ) Mark 1 out of 1 Answer: universaalhulk Question 4 sisesta õige sõna: Correct Hulga täiend on hulk, mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad Mark 1 out of 1 elemendid. Question 5 kas väide on õige või vale ?
Kuidas saadakse mingi loogikaavaldise jaoks tema duaalne kuju? Konjuktsioon disjunktsiooniks, disjunktsioon konjuktsiooniks, konstandid 0 konstandiks 1 ja konstandid 1 konstandiks 0. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed, kõik hulgaalgebra seadused kehtivad ka loogikaalgebras, tehes järgnevad asendused: ühend disjunktsiooniks, ühisosa konjuktsiooni,s tühi hulk konstandiks 0 ja universaalhulk konstandiks 1 Vaata põhiseoseid ja õpi selgeks lk 156-157 Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistel tehetel on nad olemas? Et asendada mitteelementaarseid loogikatehteid elementaarsete loogikatehete kaudu. Nad on olemas tehetel implikatsioon,ekvivalents ja moodul summast 2-ga. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon f(x1,x2......,xn) on vastavus n-muutuja Boole Ruumist {0,1}n loogikaväärtuste hulka {0,1} Mis on argumentvektor ja mida ta esitab?
välistav VÕI ( XOR ) sümmeetriline vahe A B = B A A B = B A konstant 0 tühi hulk { } assotsiatiivsus: konstant 1 universaalhulk ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) HULGAALGEBRA PÕHISEOSED distributiivsus: ( sulgude "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine" )
saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga, konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0. 10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon on vastavus n- muutuja Boole’i ruumist loogikaväärtuste hulka {0, 1}. 13. Mis on argumentvektor ja mida ta esitab
üksühest vastavust (nt reaalarvud) Lõplik hulk: hulk, mis sisaldab kindla (naturaalarvuga võrdse arvu) elemente Lõpmatu hulk: hulk, mis sisaldab lõpmatult palju elemente Minimaalne Cantori normaalkuju: Cantori normaalkuju, mis koosneb vähimast võimalikust arvust hulkadest Täielik Cantori normaalkuju: CNK, kus igas ühisosa- või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad Tühi hulk: hulk, millesse ei kuulu ühtki elementi Universaalhulk: hulk, kuhu kuuluvad kõik antud tingimustel võimalikud elemendid Venni diagramm: hulkade illustratiivse graafilise esitamise moodus, diagrammil näidatakse hulki ringjoontena, mille sees võivad näidatud olla ka hulgaelemendid Võimsus: lõpliku hulga võimsus on elementide arv selles hulgas Arvusüsteemid Arvusüsteemi alus: järguväärtuste arv Järgu kaal: arvujärgu väärtus, saadakse alust arvujärgu indeksiga astendades
Hulka saab esitada täieliku hulgaelementide loeteluna, osalise loeteluna, nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Hulga osahulgaks nimetetakse seda hulka, mis täielikult sisaldub teise hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente.
AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes) Täiendi omadused: 1. De Morgani seadused a. (AB)'=A'B' (AB)'=A'B' 2. Kahekordse täiendi seadus a. A''=A 3. Universaalse hulga ja tühja hulga reeglid a
Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente
kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A ⊂ B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A ≠ B. 15. Hulkade ühend, ühisosa, vahe. Universaalhulk. Hulga täiend. Venni diagrammid. Tehete algebralised omadused, nende tõestamine ja kontroll . [3, 4, 5] Ühend o DEF: Hulkade A ja B ühendiks e. summaks nimetatakse hulka A∪B, mille moodustavad kõik elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulkadest A ja B, st A ∪ B = { x | x∈ A ∨ x∈ B } Ühisosa o DEF: Hulkade A ja B ühisosaks e. lõikeks nimetatakse hulka A∩B, mille moodustavad
Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on
A B={ x(x A x / B)(x / A x B) }=¿ Sümmeetrilist vahet illustreerib järgmine Venni diagramm: Sümmeetrilise vahe omadused Näide: Kui A = {a, b, c} ja B = {a, c, d, e}, siis A B = {b, d, e}. Lause Olgu A ja B hulgad. Siis A B = (A B) (A B). Lause Olgu A ja B hulgad. 1. Kommutatiivsus: A B = B A; 2. Assotsiatiivsus: (A B) C = A (B C); 3. Distributiivsus: (A B) C = (A C) (B C); 4. A B = A B A B = . Olgu U universaalhulk ja A U. Definitsioon Hulga A täiendiks A' nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik need universaalse hulga U elemendid, mis ei kuulu hulka A, s.t ¿ A '={x U : x / A }=U Hulga A täiendit saab Venni diagrammi abil kujutada järgmiselt: Näide: 1. Kui U = , siis ' = {0, -1, -2, . . . }; 2. Kui U = , siis '= . Lause Olgu U universaalhulk ja A, B U. Hulga täiendi moodustamisel kehtivad järgmised
liikmesfunktsioonide kooskõla. Siinkohal on oluline märkida, et mitte alati ei kasutata ära hägusloogikasüsteemide semantilisi tõlgendusvõimalusi (s.o. lingvistilised märgendid võivad kanda minimaalset infot väljendavaid nimetusi nagu "liikmesfunktsioon 1", "liikmesfunktsioon 2"). Kujutlegem ette hägusat hulka, mis on tähistatud märgendiga "noor" ja mille alus paikneb vahemikus [30, 40]. Semantiline kooskõla sõltub sellest, milline on muutuja universaalhulk X, näiteks kui X = [30, 100], on kõik korras, kuid juhul kui X = [0, 40], on raske rääkida tükelduse semantilisest mõtestatusest. Samamoodi on oluline hulkade järjestus, näiteks kui hägus hulk, mis vastab lingvistilisele märgendile "vana", asetseb vasakul lingvistilise märgendile "noor" vastavast liikmesfunktsioonist on ilmselgelt tegu valesti moodustatud tükeldusega. 1. 4 Tehted hägusate hulkadega 9 1
Seepärast tuleb loogika- ja aritmeetikatehteid kindlalt eristada ja loogikatehete tähistamiseks võib kasutada aritmeetikatehete märke vaid juhul kui pole ohtu neid tehteid segi ajada. Loogikaaksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused: 1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 3. Indempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta). Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtust 4. Eituse eitamise seadus. Argumendi väärtus tema kahekordsel eitamisel ei muutu 5. Komplementaarsus- ehk täiendiseadus. Argumendi ja tema eituse ehk täiendi loogiline korrutis on null, loogiline summa üks 6
Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)} · Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x | (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused · Kommutatiivsusseadused AB=B A B = B · Assotsiatiivsusseadused A(BC)=(AB)C 1 A(BC)=(AB)C · Distributiivsusseadused A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) · De Morgani seadus seadused A B = A B AB = AB
George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C Distributiivsusseadused
Neid kõiki on võimalik ühendada universaalhulgaks. D8.4. Universaalhulgaks ehk universaalseks hulgaks nimetatakse hulka, mis sisaldab alamhulkadena kõiki antud probleemi või arutluse raames vaadeldavaid hulki. Klassikalises predikaatloogikas peavad ühe predikaadi kõik indiviidid kuuluma ühte baashulka. Erinevatel predikaatidel võivad olla erinevad baashulgad. Arutlustes võib osutuda otstarbekaks võtta kõikide predikaatide baashulgaks universaalhulk. Tühikuga lõpetamata lausele „… on algarv” vastab unaarne predikaat. Asetades tühikusse konkreetse indiviidi etteantud indiviidide hulgast, saame konkreetse tõeväärtusega lause, ehk siis tühikuga lõpetamata lause seab iga indiviidiga vastavusse kindla tõeväärtuse. Analoogiliselt saab kahe tühikuga lõpetamata lauset „… armastab …” vaadelda kui kahekohalist predikaati jne. Asetades tühikutesse konkreetsed indiviidid, saame konkreetse tõeväärtusega lause
Neid kõiki on võimalik ühendada universaalhulgaks. D8.4. Universaalhulgaks ehk universaalseks hulgaks nimetatakse hulka, mis sisaldab alamhulkadena kõiki antud probleemi või arutluse raames vaadeldavaid hulki. Klassikalises predikaatloogikas peavad ühe predikaadi kõik indiviidid kuuluma ühte baashulka. Erinevatel predikaatidel võivad olla erinevad baashulgad. Arutlustes võib osutuda otstarbekaks võtta kõikide predikaatide baashulgaks universaalhulk. Tühikuga lõpetamata lausele ,,... on algarv" vastab unaarne predikaat. Asetades tühikusse konkreetse indiviidi etteantud indiviidide hulgast, saame konkreetse tõeväärtusega lause, ehk siis tühikuga lõpetamata lause seab iga indiviidiga vastavusse kindla tõeväärtuse. Analoogiliselt saab kahe tühikuga lõpetamata lauset ,,... armastab ..." vaadelda kui kahekohalist predikaati jne. Asetades tühikutesse konkreetsed indiviidid, saame konkreetse tõeväärtusega lause
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1. 21 Aksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused: 1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 0 ⋅ a ⋅ b ⋅ cL = 0. (1.10) 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 1 + a + b + c +L = 1. (1.11) 3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta). Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtust a ⋅ a = a; a + a = a. (1.12) 4. Eituse eitamise seadus
annaabi.ee 
